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Reducción del sistema

Lagrange mostró que el sistema planteado (eq. 5) se puede reducir de orden 18 a orden 6, con las siguientes consideraciones.

Como no hay fuerzas externas, podemos decir que el momento total será una constante del movimiento, y además se van a mover su centro de masa en línea recta; este hecho se puede expresar con las siguientes 6 integrales del movimiento:

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{rcl}
p_1+p_4+p_7 & = & a_1 \\
p_2+p_5+p_8 & = & a_2 \\
p_3+p_6+p_9 & = & a_3
\end{array}\right.
\end{displaymath} (6)


\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{rcl}
m_1 q_1 + m_2 q_4 + m_3 q_7 - \le...
...9 - \left(p_3+p_6+p_9\right) t & = & a_6
\end{array}\right. %}
\end{displaymath} (7)

donde \bgroup\color{Black}$a_1$\egroup, \bgroup\color{Black}$a_2$\egroup, ..., \bgroup\color{Black}$a_6$\egroup son constantes. De esta forma, el orden del sistema se reduciría a 12. Del mismo modo se puede considerar el momento angular, puesto que no hay ningún torque externo, lo que nos daría las se puede expresar con las siguientes ecuaciones:
\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{rcl}
q_1 p_2 - q_2 p_1 + q_4 p_5 - q_5...
... - q_4 p_6 + q_9 p_7 - q_7 p_9 & = & a_9
\end{array}\right. %}
\end{displaymath} (8)

donde \bgroup\color{Black}$a_7$\egroup, \bgroup\color{Black}$a_8$\egroup, \bgroup\color{Black}$a_9$\egroup son constantes. Con estas integrales se reduciría el sistema a orden 9.

Luego, considerando que se tienen las posiciones respecto de un sistema de coordenadas fijos, el ángulo azimutal de uno de los cuerpos y la posición respecto al plano fijo pueden ser coordenadas ignorables, lo cual reduce el sistema a orden 8.

Si se considera ahora que la energiia total se conserva, pues el hamiltoniano planteado es independiente del tiempo, se puede reducir con esa integral de la energía y eliminando el tiempo, se puede reducir a orden 6 el sistema planteado.


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Francisco Javier Rodríguez Arias 2004-12-16